爱因斯坦的数学到底好不好？

首先，想要了解爱因斯坦如何学习物理学，这似乎就像试图通过观察鸟类、模仿它们用力地挥舞手臂来学习飞翔一样毫无意义。

那么，我们普通人就该放弃吗？我们无法借鉴天才的学习经验吗？

或许我们中大部分人并没有革新物理学的天赋，但研究爱因斯坦是如何学习的仍然可以给我们以启迪。

不论爱因斯坦在学习过程中做了什么，显然他做对了一些事情，这值得我们去探讨和学习。

爱因斯坦究竟有多聪明？他小学数学真没及格吗？

关于爱因斯坦的故事中，最耳熟能详的便是他上小学时数学成绩不及格这件事。

这个故事听起来非常符合大众心理，因此无论事实究竟如何，都注定会被大肆宣扬。

遗憾的是，事实与传言大相径庭。

爱因斯坦在他年幼时就是数学达人，他本人曾表示：我的数学成绩从未有过不及格，在15岁之前，我就已经掌握了微积分。

虽然关于爱因斯坦小时候成绩不好的说法肯定是错误的，但他也并不是公认的天才。

爱因斯坦的成绩单（满分是6分）

上大学时，爱因斯坦的物理成绩通常是5或6分（满分是6分），但在数学上却学得很吃力，他大部分的数学成绩只有4分（勉强及格）。

对此，爱因斯坦曾经的数学教授、后来的合作者赫尔曼•闵可夫斯基（Hermann Minkowski）称他为懒汉；在一门实验物理课上，他的物理学教授让•佩内特（Jean Pernet）甚至只给了他1分的成绩。

大学毕业时，爱因斯坦成为了班上成绩倒数第二的学生，这简直令人难以置信。

毫无疑问，爱因斯坦所遇到的困难，大部分是由他不爱墨守成规、叛逆的性格造成的，这使得他与学术环境难以和谐相处。

在后来的学术生涯中，这些困难也始终存在，即使是在完成了日后助他获得诺贝尔奖的工作后，他在大学寻找教职之路也并不顺利。

毋庸置疑，爱因斯坦在物理学取得的研究成果确实是革命性的，任何标准下，创造这些突破的他都担得起天才头衔。

但爱因斯坦早期的情况远比天才二字要复杂得多。

这也表明，事后判断某人是天才通常很容易，但在事前却很难预知。

爱因斯坦究竟是如何学习物理和数学的？

在爱因斯坦的整个传记中，每当提及他的学习和发现方法时，他表示都会做笔记记录下来，然后尝试将这些观察结果综合归类为若干种方法，正是这些方法成就了爱因斯坦在物理学上的革命性发现和他对事物本质的深刻理解。

1 学习源自解决难题

而不只是上课听讲（做而非听）

当看到爱因斯坦早期的学校教育时，有一件事显而易见，就是他对死记硬背和听课的厌恶。

他的物理教授之所以让他挂科，很大程度上也是因为他经常逃课。

对此，爱因斯坦表示：我经常逃课，是为了待在家中满怀虔诚、热忱地学习理论物理学大师们的佳作。

爱因斯坦孩提时的照片

这种通过逃课从而能有更多空余时间来专心解决难题的习惯，是他的叔叔雅各布•爱因斯坦（Jakob Einstein）培养出来的，也是由雅各布叔叔引导他接触代数。

12岁时，爱因斯坦已经有了解决复杂数学问题的爱好，他的父母给他买了一本高等数学教科书，让他可以在夏季学习。

也就是说，爱因斯坦学习物理，不是一味勤勤恳恳地上课，而是沉浸在各种想法和方程式的海洋中。

做而非听，是他学习物理的起点。

2 你能自己证明的时候

才真的学到了一些东西

那么，在学习的过程中你如何知道什么时候自己才是真正理解？爱因斯坦的方法是尝试自己证明命题！从他很小的时候开始，雅各布叔叔就让他挑战如何证明毕达哥拉斯定理（勾股定理）：

爱因斯坦回忆说：经过诸多努力，我成功地基于三角形的相似性证明了该定理。

对此，沃尔特·艾萨克森（Walter Isaacson，《爱因斯坦传》一书作者）解释，爱因斯坦遇到新理论问题时会努力尝试自己证明它们。

对于爱因斯坦而言，采用这种学习物理的方法是自然而然的，他被内在的强烈好奇心所驱动。

也就是说，他想获知事物的实际运作方式，并且笃定自然可以被理解为相对简单的数学结构。

因此，我们必须意识到，重要的不仅是用证明命题的方法学习物理，还有实现这一目标的内在驱动力。

显然，爱因斯坦的好奇心不仅在于灵活运用理论知识，还在于对物理概念有深刻的理解和敏锐的直觉。

3

直觉比公式更重要

与其说爱因斯坦是数学家，不如说他是直觉敏锐的物理学家。

实际上，只有在他为发展广义相对论而奋斗多年后，他才开始迷恋用数学形式主义作为研究物理学的一种方式。

爱因斯坦偏爱这种直观的物理方法，也是因为早期受到了亚伦·伯恩斯坦（Aaron Bernstein）撰写的一系列科学著作的启蒙。

这些书中绘制了富有想象力的图片来帮助读者理解物理现象，例如《虚拟的太空旅行》一书中介绍了电信号，甚至还对光速的恒定性进行了讨论，这一问题后来也成为爱因斯坦发现狭义相对论的基础。

瑞士教育学家裴斯泰洛齐强调：通过想象学习而不是死记硬背

爱因斯坦后来在瑞士阿劳（Aarau）的教育深受瑞士教育学家裴斯泰洛齐（Johann Heinrich Pestalozzi）的影响。

裴斯泰洛齐认为，视觉理解是教授学生如何正确判断事物的必要的和唯一正确的方式，数字和语言的学习重要性次之。

爱因斯坦后来更喜欢用可视化风格解决物理问题，很难说是受到这些早期因素的影响，还是他原本就以这种方式推理，这些只起到了推波助澜的作用，不过无论如何，这种培养直觉（尤其是视觉直觉）的教育思想，在物理学中有着不可估量的作用。

那么，我们又该如何培养直觉呢？爱因斯坦认为，直觉只不过是前期智力经验的结果。

爱因斯坦通过证明命题和解决问题来努力培养直觉，这无疑强化了他可视化的能力，并从中受益匪浅。

4 思考需要安静的环境和深度专注

不仅如此，爱因斯坦还是深度工作大师，有着令人难以置信的专注力，他儿子还曾写道：即使是最洪亮的婴儿啼哭声似乎也没有打扰父亲，他可以继续工作，完全不受噪音干扰。

尽管爱因斯坦在学术生涯上碰了壁，但伯尔尼专利局朝九晚五的稳定工作，使他有时间和精力去揭开相对论的神秘面纱。

爱因斯坦说：我只用两三个小时就能完成一整天的工作量。

剩下的时间，我可以自由思考。

爱因斯坦在家里办公

爱因斯坦始终用这种孩提时培养的执着、专注的态度去解决问题，在长达四周的疲惫的狂热后，最终他破解了广义相对论。

但这种超强度的专注投入也对他的健康造成了影响，他在努力解开张量场方程的数学难题时就出现了胃部问题。

爱因斯坦的专注能力，以及享受孤独的态度，帮助他在物理学领域做出了一番事业。

他有划船的习惯，虽然后来年纪大了，他仍会在自己的小船上待很多个小时，漫不经心地推着舵，似乎陷入沉思，又不时在笔记本上写下潦草的方程式。

5 通过思想实验理解思想

如果要说爱因斯坦最著名的学习和探索物理学的方法，那必然是思维实验。

这本书中爱因斯坦第一次介绍思想实验的力量

思维实验中最著名的便是想象自己骑在一束光上。

当他以同样的速度骑在光束旁边时，光束会发生什么变化？它必然会静止。

不过对于爱因斯坦来说，这种结果似乎是不可能的，因为他信仰麦克斯韦电磁方程。

但是，如果光束不静止，会发生什么呢？

这些思维实验是建立在他对物理学的直觉理解上的，而这种直觉理解又建立在他研究理论和实际问题的经验之上。

然而，思维实验的优势是让那些直觉不甚敏锐的物理学家注意到物理现象中的可能被遗漏的矛盾或混乱。

这种进行思维实验的能力，甚至曾诱导爱因斯坦对基础物理产生理解上的偏差。

他曾建议用ERP佯谬驳斥当时对量子物理学的理解，即量子力学可以瞬间创造系统的变化，他认为这违反光速。

然而，他的直觉是错误的，量子力学系统确实以这种奇怪的方式运行，现在被称为量子纠缠。

6 用大量常识推翻常识

狭义相对论和广义相对论是有史以来最伟大的科学发现之一。

有了狭义相对论，爱因斯坦发现没有绝对时间——当两个人以不同的速度运动，就会对时间的流逝产生分歧——不存在对错。

随着广义相对论的发展，爱因斯坦走得更远，证明引力弯曲了时空。

爱因斯坦42岁，这一年他获得诺贝尔奖

因此，有理由假定，如果想要推翻这种常识性原则，就需要摆脱常识的束缚。

然而，爱因斯坦的天才在于：通过否定第三个常识性原理（绝对时空）来调和相对论和光速不变性这两个常识性原则。

爱因斯坦的天赋，似乎在于他有能力捍卫他认为最合理的想法，即使这意味着否定那些长期被认定是正确的共识。

这种用其他直觉推翻常识的技巧，也许最终也是他无法接受量子力学的原因，虽然量子力学是他帮助创立的一个非常成功的物理学理论。

他对严格决定论的直觉，导致他在一生中大部分时间都支持一个不成功的、不切实际的推翻量子力学的探索。

这一实践还提出了一种学习数学和物理学中许多反直觉原理的方法——首先，从建立一个不同的常识前提开始。

7 与友人散步时迸发的灵感

尽管，孤独和专注是爱因斯坦学习和做物理学的基本要素，但往往是与其他人的交流为他的研究提供了突破。

阿尔伯特•爱因斯坦和米歇尔•贝索

其中，最著名的例子就是有一次他和老朋友米歇尔•贝索（Michele Besso）一起散步的经历。

当时爱因斯坦正专注于狭义相对论的研究，他和贝索一起散步并介绍自己的理论，他沮丧地表示自己都打算放弃这个理论了，然而话音刚落，他刹那间便有了正确思路，第二天再见面时他告诉贝索自己已完全解决了问题。

由此可见，大声地讨论、与他人分享，往往可以把之前没有联系的见解串联起来。

爱因斯坦充分利用了这一技巧，时常与朋友和同事讨论棘手的问题，即使他们只是对话的参与者，而非积极的讨论者。

8 叛逆

爱因斯坦从不墨守成规。

虽然这种叛逆的性格可能对他早期的学术生涯有一定影响，当时他寻找物理学教职频频受挫。

但也正是这种性格让他取得了伟大的学术成就，也让他后来的名气更响亮更拉风。

这种叛逆的性格可能有助于他学习物理学，他反对他一些传统和正统观念，讨厌德国的教育体系，用艾萨克森的话说，这种死记硬背、不容忍提问的教学方式令人反感。

这种对通用教育方法的拒绝，鼓励他通过教科书和实践自学物理。

后来，这种叛逆性格在物理学革命中也起到了不可或缺的作用。

例如，爱因斯坦对光量子化的研究，最早是由马克斯·普朗克（Max Planck）首先发现的。

可与早期的普朗克不同，爱因斯坦认为量子化是物理现实（光子）而不是数学发明。

当时的主流理论认为，光是以太中的波，但他对此并不认同。

尽管许多学生乐意遵从主流教育和正统观念，但爱因斯坦却不爱从大流，除非他自己认为这么做本身就有意义。

9 所有的知识都始于好奇心

爱因斯坦解释道：好奇心有其存在的必要性。

当我们思考永恒、生命和奇妙的现实结构的奥秘时，不禁感到敬畏。

爱因斯坦，永葆好奇心

好奇心可能是爱因斯坦最具决定性的品质，仅次于他的智慧。

他对物理的热爱始于孩提时代，当时他得到了一个指南针，并被指针为一种看不见的力量而移动的现象深深吸引。

好奇心是爱因斯坦学习物理学的动力。

虽然对某件事情不感兴趣时，他可能会相当懒惰和固执，但他对揭开物理学的奥秘却有着强烈的热情，人们从来只在自己喜欢的事情上耗费脑力。

在他看来，好奇心也是他取得成就的最大原因。

爱因斯坦认为，热爱是比责任感更好的老师。

从某种意义上说，培养对学习和知识的热爱，是远比纪律更重要的技能。

像爱因斯坦

一样学习

爱因斯坦的学习方法与他本人的性格是分不开的。

物理学的痴迷是源于他的才智还是好奇心？他可以通过思维实验实现形象化的能力，是来自不同寻常的瑞士教育体系的鼓励、广泛的实践还是与生俱来的能力？他的物理学革命是天才、叛逆、运气还是这三者的共同产物？我不确定这些问题是否有明确的答案。

但是，显而易见的是爱因斯坦对自然的崇敬和他研究自然时谦逊的态度。

正如他曾写道:

在宇宙的法则中，一种远高于人类的精神得以显现。

面对这种精神时，凭借人类微不足道的力量，我们必须感到谦卑。

因此，虽然爱因斯坦的才智远非常人所及，但他的好奇心、谦逊和坚韧仍然值得我们学习。