字符串相似度和字符串编辑距离

余弦相似度

计算公式为：

P(A，B) = sqrt(A × B) / (|A| × |B|)

设有两个字符串：

ABCDEFG

ABCHIJK

其中共有11个字符，为：

A B C D E F G H I J K

如果，不考虑他们之间的关联性以及顺序等隐私，那么可以讲这两个字符串转换成两个11维空间中的向量：

{1、1、1、1、1、1、1、0、0、0、0}

{1、1、1、0、0、0、0、1、1、1、1}

那，计算他们之间的相似度为：

P = sqrt(3) / (sqrt(7) × sqrt(7)) = 0.2474358297

矩阵相似度

给定两个长度相等的字符串，在移动的过程中比较：

首先有几个变量：

n：字符串的长度，此时为10；

m：相同的字符，此时为3，包括d、a、c；

r：两个字符串重叠部分，此时为8；

那么给出定义：

重叠率：L = r / n。

匹配率：M = m / n。

相似度：Q = M^2 × L = (m^2 / n^2) × (r / n)。

其实为什么这样定义也很好理解，将Q变形一下就可以得到：

Q = (m^2 / r^2) × (r / n)

前半部分表示了当前相同的比率，后半部分表示了重叠的比率，然后呢，废话就不多说了。

其实，还有一个要考虑的地方，举个例子：

str1：abcabc

str2：abcdabc

str1和str2的相似度是很高的，但是，在移位错开的过程中根本没办法找到这种匹配。

想想其实原因也是非常简单的：把所有的字符都死板地粘合在了一起！那么，我们要做的其实就是将他们打散来匹配。

首先，根据字符串A和字符串B来构造矩阵R：

Ai和Bi+j相同时，Rij = 1；否则，Rij = 0。

那么，现在要做的事情就是，在矩阵R中寻找一条路径，使得这条路径上的1最多，这个问题和求两个字符串的最大匹配和像的DP问题，这里就不啰嗦了。

字符串编辑距离

还有一种衡量两个字符串之间的差异性的方法是，计算两个字符串转换时候需要的最少操作，需要的操作越少说明这两个字符串越相似。

假设字符串的操作只有三种：

插入一个字符；

删除一个字符；

替换一个字符；

两个字符串之间的编辑距离定义为：从字符串str1到str2的最少的操作次数。

首先，编辑距离是不会大于str1.length + str2.length的。

假设求字符A、B的编辑距离，考虑下面几种情况：

如果A[i] = B[j]，那么这时候还需要操作吗？

这个时候的删除和替换操作只会让情况变得更坏，而且插入操作不会使情况变得更好，所以此时F(i, j) = F(i-1, j-1)。

如果A[i] != B[j]，怎么办呢？

a、从F(i-1, j-1)变过来，这时候只需要把A[i]替换为B[j]即可；

b、从F(i-1, j)变过来，这时候只需要将A[i]删除即可；

c、从F(i, j-1)变过来，这时候只需要在A[i]后插入字符B[j]即可；

那么此时，F(i, j) = min{F(i-1，j-1)，F(i-1，j)，F(i，j-1)} + 1。

注：其中F(i, j)表示A[0..i]和B[0..j]之间的编辑距离。

看完这种相似度想起了BFS的入门题目：《聪明的打字员》，囧。