如何将飞船送往其他行星简谈航天器的运动和轨道问题

引言

要把探测器送往火星，总共需几步？一般来讲，从地球发向其他行星的探测器的飞行过程大致分为三个阶段：火箭发射升空并绕地球运行、变轨加速以脱离地球引力前往目标行星、抵达后在目标行星上环绕或着陆。

其中一三阶段时间短但步骤和细节繁杂，而二阶段将占据飞行器旅程的大部分时间。

本文将从航天器的运动和轨道问题出发，介绍天体运动和变轨问题的一些简单知识。

三种宇宙速度

我们将首先从航天器的速度问题开始。

众所周知，水平方向抛出的物体，初速度越快，落点越远，当它的速度达到7.9 km/s时，便再也无法落回地面，将仅在地球引力的影响下环绕地球做匀速圆周运动。

这便是地球的第一宇宙速度，是发射人造卫星的最小初速度，也是以圆轨道绕地球运动的最大线速度。

如果发射时初速度达到约11.2 km/s，即地球的第二宇宙速度时，飞行器就能恰好完全摆脱地球的引力，且之后无需加速。

天体的第二宇宙速度又称逃逸速度，以逃逸速度从天体表面沿任何方向发射的无动力物体，在引力作用下速度会慢慢减小，当飞行至无穷远时速度恰好为0。

逃逸速度是第一宇宙速度的 倍，可用动能和引力势能（ ，无穷远处为势能零点）相互转化来计算，这一过程中，动能逐渐转换成引力势能，直到无穷远处双双为0。

第三宇宙速度是同时脱离地球和太阳引力所需的最小发射初速度，与方向任意的第二宇宙速度不同，它要求飞行器的初始运动方向必须与地球公转相同，从而可以借助地球公转的速度，减少燃料消耗。

根据上文可知，地球轨道处太阳的逃逸速度是圆轨道速度29.8 km/s的 倍，约42.1 km/s，因此飞行器除了需要二者相差的12.3 km/s对应的动能来脱离太阳引力，还需另外的11.2 km/s对应的动能以逃离地球，这两个动能数值之和对应的速度就是第三宇宙速度16.7 km/s。

显然，往返于地球与其他行星之间的行星际飞行器，目的地距离地球较远，可以说需要完全克服地球引力，但又不会离开太阳的引力范围，因此它们的速度通常介于 和 之间。

第二和第三宇宙速度的推导过程

不同速度的轨道

其次，我们考虑不同的轨道速度和发射方向所对应的具体轨道形状。

最简单的情形是物体沿水平方向抛出。

第一宇宙速度 的轨道形状是圆形，假如速度略大于此，物体的向心加速度将大于引力所提供的，轨道将会是一个椭圆——以地球中心为焦点，发射位置为近地点。

而随着初速度的增大，椭圆将越来越扁，远地点高度、半长轴和偏心率也慢慢增加，倘若以第二宇宙速度 发射，轨道的偏心率将变成1，半长轴和远地点距无穷大，也就是一个开放的抛物线轨道。

如果初速度比 还大，飞行器相对地球的轨道将是双曲线的一支，偏心率大于1，半长轴在天体力学中被定义为一个负值。

而回顾一下那些发射速度小于 的平抛运动，严格来讲，它们的轨迹其实也是椭圆，只是初速度很小时，椭圆同样很扁，离心率无限接近1，因此可以当作抛物线来看待。

这时的初始抛射位置是椭圆的远地点，近地点则在地球内部。

不同大小的水平发射速度的轨道形状

实际上，除去竖直向上发射这一种特殊情况，当物体的初速度分别小于、等于和大于 时，哪怕发射方向并非水平，轨道依旧会分别是椭圆、抛物线和双曲线，不过方向不同的情况下，椭圆或双曲线的半长轴和偏心率、抛物线的焦距也有所不同。

对于这些方向并非水平的情形，若已知速度大小和矢径长度，我们可以通过计算物体的机械能来判断轨道形状和半长轴的大小，动能与势能之和小于、等于或大于0分别对应着椭圆、抛物线和双曲线轨道。

由于二体问题中系统的机械能 ，继而可以求得它们的半长轴 。

以v1和v2沿不同方向发射时的轨道

变轨运动与霍曼转移

最后，让我们来到航天器的变轨话题上。

由于实际的变轨和轨道设计必然极其复杂，因此以下只介绍一些简单的理论和思路。

考虑一艘在近地轨道以圆形绕地球运转的飞船或卫星，突然沿原本的运动方向点火加速。

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