海涅定理的证明是：

limf(x)=b ==> lim[n->∞］f(an)=b。

由函数极限定义：任给e>0，存在d>0，当｜x-a|<d时，｜f(x)-b|<e。

再由数列极限定义，存在N，使n>N时｜an-a|<d。

则当n>N时，｜f(an)-b|<e，得证：limf(x)=b <== lim[n->∞］f(an)=b。

反证法，若limf(x)不是b，则存在e>0,对任意d>0，都存在某个x：满足｜x-a|<d，但｜f(x)-b|>e。

再利用lim[n->∞］f(an)=b的数列极限定义推出矛盾。

作用

海涅定理是沟通函数极限和数列极限之间的桥梁。

根据海涅定理，求函数极限则可化为求数列极限，同样求数列极限也可转化为求函数极限。

因此，函数极限的所有性质都可用数列极限的有关性质来加以证明。

根据海涅定理的充分必要条件还可以判断函数极限是否存在。

所以在求数列或函数极限时，海涅定理起着重要的作用。

应用海涅定理人们可把函数极限问题转化（归结）成数列问题，因而人们又称它为归结原则。