实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理，这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则，共7个定理，。

一、上（下）确界原理非空有上（下）界数集必有上（下）确界。

二、单调有界定理单调有界数列必有极限。

具体来说：单调增（减）有上（下）界数列必收敛。

三、闭区间套定理（柯西-康托尔定理）对于任何闭区间套，必存在属于所有闭区间的公共点。

若区间长度趋于零，则该点是唯一公共点。

四、有限覆盖定理（博雷尔-勒贝格定理，海涅-波雷尔定理）闭区间上的任意开覆盖，必有有限子覆盖。

或者说：闭区间上的任意一个开覆盖，必可从中取出有限个开区间来覆盖这个闭区间。

五、极限点定理（波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理、聚点定理）有界无限点集必有聚点。

或者说：每个无穷有界集至少有一个极限点。

六、有界闭区间的序列紧性（致密性定理）有界数列必有收敛子列。

七、完备性（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是其为柯西列。

或者说：柯西列必收敛，收敛数列必为柯西列。

扩展资料单调有界定理注意事项1、单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法；

2、数列从某一项开始单调有界的话，结论依然成立，这是因为增加或去掉数列有限项不改变数列的极限。