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相交弦定理
科学原理
2026-01-07
菜科探索
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相交弦定理(Intersecting Chords Theorem)，数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
几何语言:若圆内任意弦AB、弦CD交于点P，则PA·PB=PC·PD(相交弦定理)
相关定理：相交弦定理为圆幂定理之一，其他三条定理为:切割线定理、割线定理、弦切角定理。
证明:连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。
(圆周角推论2: 在同圆或等圆中，同(等)弧所对圆周角相等。
)∴△PAC∽△PDB ∴PA∶PD=PC∶PB，PA·PB=PC·PD
注:其逆定理可作为证明四边形是圆的内接四边形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。
其逆定理也可用于证明四点共圆。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它所分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言:若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC²=PA·PB(相交弦定理推论)
比较：相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)以及他们的推论统称为圆幂定理。
一般用于求线段长度。
当P点在圆内时称为相交弦定理，当P点在圆上时称为切割线定理，当P点在圆外时称为割线定理。
三条定理统称为圆幂定理。
其中|OP²-R²|称为P点对圆O的幂。
(R为圆O的半径)
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